If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

ನೀವು ವೆಬ್ ಫಿಲ್ಟರ್ ಹಿಂದೆ ಇದ್ದರೆ, ಡೊಮೇನ್ಗಳು *.kastatic.org ಮತ್ತು *.kasandbox.org ಗಳನ್ನು ಅನ್ ಬ್ಲಾಕ್ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ.

ಮುಖ್ಯ ವಿಷಯ

ರೇಖಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣ ರೂಪಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದಾದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬಿಡಿಸುವುದು

ಪೀಠಿಕೆ:

ಈವರೆಗೂ ನಾವು ಎರಡು ಚರಾಕ್ಷರವುಳ್ಳ ರೇಖಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸುಮಾರು ಲೆಕ್ಕಗಳನ್ನು ಬಿಡಿಸಿದ್ದೇವೆ.ಅವುಗಳನ್ನು ಬಿಡಿಸಲು ಆದೇಶ ವಿಧಾನ ಮತ್ತು ವರ್ಜಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿದ್ದೇವೆ
ಆದರೆ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಜೋಡಿಗಳು ರೇಖಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗದೆ ಇದ್ದರೆ ಏನಾಗುತ್ತದೆ?
ಅದು ತುಂಬಾ ಗೋಜಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ನಾವು ಆ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹೊಸದಾದ ರೇಖಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದು.
ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಬಿಡಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ.
ಅದನ್ನು ಅರ್ಥ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಒಂದು ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಬಿಡಿಸೋಣ

ಸಮಸ್ಯೆಗಳು:

ಒಂದು ದೋಣಿಯು ಪ್ರವಾಹಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ದವಾಗಿ 30ಕಿ.ಮೀ ಮತ್ತು ಪ್ರವಾಹದ ಜೊತೆಗೆ 44ಕಿ.ಮೀ 10ಗಂಟೆಗಳಲ್ಲಿ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ . ಹಾಗೆ ಅದು 40ಕಿ.ಮೀ ಪ್ರವಾಹಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ದವಾಗಿ ಮತ್ತು ಪ್ರವಾಹದ ಜೊತೆಗೆ 55ಕಿ.ಮೀ 13 ಗಂಟೆಗಳಲ್ಲಿ ಚಲಿಸಬಹುದು .
ದೋಣಿಯ ಜವವು ನಿಂತ ನೀರಿನಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹರಿಯುವ ನೀರಿನ ಜವವೂ ಹಾಗೇ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಅಪ್ ಸ್ಟ್ರೀಮ್ ಎಂದರೆ ಪ್ರವಾಹಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ಮತ್ತು ಡೌನ್ ಸ್ಟ್ರೀಮ್ಎಂದರೆ ಪ್ರವಾಹದ ಜೊತೆಗೆ ಎಂದರರ್ಥ.
ನಿಶ್ಚಲ ನೀರಿನಲ್ಲಿ ದೋಣಿಯ ಜವ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ತಂತ್ರ:

ನಮಗೆ ಇಲ್ಲಿ ಎರಡು ಸನ್ನಿವೇಶಗಳನ್ನು ಕೊಟ್ಟಿದೆ, ದೋಣಿಯು ಭಾಗಶಃ ಪ್ರವಾಹಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ಮತ್ತು ಭಾಗಶಃ ಪ್ರವಾಹದ ಜೊತೆಗೆ ಸಾಗುತ್ತದೆ.ದೋಣಿಯು ಚಲಿಸಿದದೂರ ಮತ್ತು ತೆಗೆದುಕೊಂಡ ಕಾಲವನ್ನೂ ಕೊಡಲಾಗಿದೆ.
ನಮಗೆ ತಿಳಿಯದೆ ಇರುವುದು ಜವ  ನೀರಿನ ಹರಿವಿನದ್ದು ಮತ್ತು ದೋಣಿಯ ಜವ ನಿಶ್ಚಲ ನೀರಿನಲ್ಲಿ. ನಮಗೆ ಗೊತ್ತಿಲ್ಲದ ಚರಾಕ್ಷರಗಳಿವು.
ಎರಡು ಸನಿವೇಶಗಳನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಿಕೊಂಡು,ಗೊತ್ತಿಲ್ಲದ ಎರಡು ಚರಾಕ್ಷರಗಳನ್ನೊಳಗೊಂಡ ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು.
ಸಮೀಕರಣಗಳು ಗೊತ್ತಿದ್ದರೆ,ನಾವು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು
ಸಮೀಕರಣಗಳು ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿರದಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಮೊದಲು ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಬದಲಾಯಿಸಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು

ಚರಾಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವುದು:

ಪ್ರವಾಹದ ಜವವು  , wkmhr ಆಗಿರಲಿ.
ದೋಣಿಯ ಜವವು ನಿಂತ ನೀರಿನಲ್ಲಿ , bkmhrಆಗಿರಲಿ.
ದೋಣಿಯು ಅಪ್ ಸ್ಟ್ರೀಮ್ ಚಲಿಸುತ್ತಿದೆ, ಎಂದರೆ ಪ್ರವಾಹಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ದವಾಗಿ.
ಜವup=(bw)kmhr
ದೋಣಿಯು ಡೌನ್ ಸ್ಟ್ರೀಮ್ ಚಲಿಸುತ್ತಿದೆ, ಎಂದರೆ ಪ್ರವಾಹದಜೊತೆಯಾಗಿ.
ಜವdown=(b+w)kmhr

ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣ ರಚನೆ:

ಈಗ ಮೊದಲ ಸನ್ನಿವೇಶ ನೋಡೋಣ
ದೋಣಿಯು 30ಕಿ.ಮೀ ಪ್ರವಾಹಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ದವಾಗಿ ಮತ್ತು 44ಕಿ.ಮೀ ಪ್ರವಾಹದ ಜೊತೆಯಾಗಿ 10 ಗಂಟೆಗಳಲ್ಲಿ ಚಲಿಸಿದೆ.
ನಾವು ಜವ,ದೂರ ಮತ್ತು ಕಾಲಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಬಹುದು.
ಕಾಲ=ದೂರಜವ
ದೋಣಿಯು ಪ್ರವಾಹಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ದವಾಗಿ ಚಲಿಸಿದಾಗ,
ಕಾಲup=ದೂರupಜವupಕಾಲup=30bwಗಂಟೆಗಳು
ದೋಣಿಯು ಪ್ರವಾಹದ ಜೊತೆಗೆ ಚಲಿಸಿದಾಗ,
ಕಾಲdown=ದೂರdownಜವdownಕಾಲdown=44b+wಗಂಟೆಗಳು
ಆದರೆ ದೋಣಿಯು 10 ಗಂಟೆಗಳ ಕಾಲ ತೆಗೆದುಕೊಂಡಿದೆ.
ಕಾಲup+ಕಾಲdown=1030bw+44b+w=10
ಎರಡನೇ ಸನ್ನಿವೇಶದ ಮೂಲಕ ಇನ್ನೊಂದು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ.

ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣ ರಚನೆ:

ಈಗ ಎರಡನೇ ಸನ್ನಿವೇಶ ನೋಡೋಣ
ದೋಣಿಯು 40ಕಿ.ಮೀ ಪ್ರವಾಹಕ್ಕೆ ಎದುರಾಗಿ ಮತ್ತು 55ಕಿ.ಮೀ ಪ್ರವಾಹದ ಜೊತೆಯಾಗಿ 13 ಗಂಟೆಗಳಲ್ಲಿ ಚಲಿಸಿದೆ.
ದೋಣಿಯು ಪ್ರವಾಹಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ದವಾಗಿ ಚಲಿಸಿದಾಗ,
ಕಾಲup=ದೂರupಜವupಕಾಲup=40bwಗಂಟೆಗಳು
ದೋಣಿಯು ಪ್ರವಾಹದ ಜೊತೆಗೆ ಚಲಿಸಿದಾಗ,
ಕಾಲdown=ದೂರdownಜವdownಕಾಲdown=55b+wಗಂಟೆಗಳು
ಆದರೆ ದೋಣಿಯು 13 ಗಂಟೆಗಳ ಕಾಲ ತೆಗೆದುಕೊಂಡಿದೆ.
ಕಾಲup+ಕಾಲdown=1340bw+55b+w=13
ಈಗ ನಮಗೆ ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳಿವೆ,ಬಿಡಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ.

ರೇಖಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣ ರೂಪಕ್ಕೆ ಬದಲಾಯಿಸುವುದು:

ನಮ್ಮ ಸಮೀಕರಣಗಳು ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿಲ್ಲ.ಚರಾಕ್ಷರಗಳು ಛೇಧದಲ್ಲಿವೆ.
ಆದರೆ ನಮ್ಮ ಪದಗಳು 1bw ಮತ್ತು 1b+w ಎರಡು ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಪುನರಾವರ್ತಿಸಿವೆ.
30bw+44b+w=1040bw+55b+w=13
ನಾವು 1bw ನ್ನು x ನಿಂದ ಮತ್ತು 1b+w ವನ್ನು yನಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಿದಾಗ,ಛೇದದಲ್ಲಿನ ಚರಾಕ್ಷರಗಳಿಂದ ಮುಕ್ತರಾಗಬಹುದು.
30x+44y=1040x+55y=13
ಈಗ ನಾವು ಮಾತನಾಡುತ್ತಿರುವುದು!ಎರಡು ಚರಾಕ್ಷರವುಳ್ಳ ರೇಖಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಬಗ್ಗೆ
ನಾವು ಇಲ್ಲಿಂದ ಮುಂದುವರಿಸಲು ಆದೇಶ ವಿಧಾನ ಅಥವಾ ವರ್ಜಿಸುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಬಹುದು.

ಹೊಸ ಚರಾಕ್ಷರಗಳಿಗೆ ರೇಖಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣ ಬಿಡಿಸುವುದು:

30x+44y=1040x+55y=13
x ನ್ನು ವರ್ಜಿಸಬಹುದು, ಮೊದಲನೇ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು 4 ರಿಂದ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು 3 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ, ಮತ್ತು ನಂತರ ಒಂದನ್ನು ಇನ್ನೊಂದರಿಂದ ಕಳೆದಾಗ.
4×(30x+44y=10)3×(40x+55y=13)
ಇದು ನೀಡುತ್ತದೆ,
120x+176y=40120x+165y=39
ಮೊದಲನೇ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕಳೆದಾಗ
120x+176y=40(120x+165y=39)11y=1y=111
y ಬೆಲೆಯನ್ನು ಮೊದಲನೇ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಹಾಕಿದಾಗ:
30x+44×111=1030x+4=1030x=6x=630x=15
ಈಗ ನಮಗೆx and yಬೆಲೆ ದೊರೆಯಿತು, ಇದರಿಂದ b and w ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು.

ಆರಂಭಿಕ ಚರಾಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು:

x ಮತ್ತು y ನ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಹಾಕಿದಾಗ:
1bw=x=151b+w=y=111
ಇದರರ್ಥ:
bw=5b+w=11
ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಕೂಡಿದಾಗ:
2×b=5+112×b=16b=8
b ನ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಹಾಕಿದಾಗ:
bw=58w=5w=3
ಆದ್ದರಿಂದ, b ನಿಶ್ಚಲ ನೀರಿನಲ್ಲಿ ದೋಣಿಯ ಜವವು 8ಕಿ.ಮೀಗಂಟೆ.
ಮತ್ತು w ಪ್ರವಾಹದ ಜವ , 3ಕಿ.ಮೀಗಂಟೆ.

ಸಾರಾಂಶ:

ರೇಖಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣ ರೂಪಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದಾದ ಸಮೀಕರಣ ಜೋಡಿಗಳನ್ನು ಬಿಡಿಸುವುದು
  • ಎರಡು ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಪುನರಾರ್ವತಿಸುವ ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ . ಸರಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಅವುಗಳನ್ನು x ಮತ್ತು y ಎಂದು ಹೆಸರಿಸಿ.
  • ಹೊಸದಾದ ಎರಡು ಚರಾಕ್ಷರಗಳ ರೇಖಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಆದೇಶಿಸಿ ಹೊಸ ಚರಾಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ..
  • ಹೊಸ ಚರಾಕ್ಷರಗಳ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಆರಂಭಿಕ ಚರಾಕ್ಷರಗಳಿಗೆ ಹಾಕಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
  • ಸಂಭ್ರಮಿಸಿ.