ಮುಖ್ಯ ವಿಷಯ

ತರಗತಿ 10 ಗಣಿತ (ಭಾರತ)

Course: ತರಗತಿ 10 ಗಣಿತ (ಭಾರತ) > Unit 3

Lesson 4: Equations reducible to linear form

ರೇಖಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣ ರೂಪಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದಾದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬಿಡಿಸುವುದು

ಪೀಠಿಕೆ:

ಈವರೆಗೂ ನಾವು ಎರಡು ಚರಾಕ್ಷರವುಳ್ಳ ರೇಖಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸುಮಾರು ಲೆಕ್ಕಗಳನ್ನು ಬಿಡಿಸಿದ್ದೇವೆ.ಅವುಗಳನ್ನು ಬಿಡಿಸಲು ಆದೇಶ ವಿಧಾನ ಮತ್ತು ವರ್ಜಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿದ್ದೇವೆ

ಆದರೆ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಜೋಡಿಗಳು ರೇಖಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗದೆ ಇದ್ದರೆ ಏನಾಗುತ್ತದೆ?

ಅದು ತುಂಬಾ ಗೋಜಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ನಾವು ಆ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹೊಸದಾದ ರೇಖಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದು.

ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಬಿಡಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ.

ಅದನ್ನು ಅರ್ಥ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಒಂದು ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಬಿಡಿಸೋಣ

ಸಮಸ್ಯೆಗಳು:

ಒಂದು ದೋಣಿಯು ಪ್ರವಾಹಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ದವಾಗಿ

30 ಕಿ.ಮೀ

ಮತ್ತು ಪ್ರವಾಹದ ಜೊತೆಗೆ

44 ಕಿ.ಮೀ

10

ಗಂಟೆಗಳಲ್ಲಿ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ . ಹಾಗೆ ಅದು

40 ಕಿ.ಮೀ

ಪ್ರವಾಹಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ದವಾಗಿ ಮತ್ತು ಪ್ರವಾಹದ ಜೊತೆಗೆ

55 ಕಿ.ಮೀ

13

ಗಂಟೆಗಳಲ್ಲಿ ಚಲಿಸಬಹುದು .

ದೋಣಿಯ ಜವವು ನಿಂತ ನೀರಿನಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹರಿಯುವ ನೀರಿನ ಜವವೂ ಹಾಗೇ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಅಪ್ ಸ್ಟ್ರೀಮ್ ಎಂದರೆ ಪ್ರವಾಹಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ಮತ್ತು ಡೌನ್ ಸ್ಟ್ರೀಮ್ಎಂದರೆ ಪ್ರವಾಹದ ಜೊತೆಗೆ ಎಂದರರ್ಥ.

ನಿಶ್ಚಲ ನೀರಿನಲ್ಲಿ ದೋಣಿಯ ಜವ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ತಂತ್ರ:

ನಮಗೆ ಇಲ್ಲಿ ಎರಡು ಸನ್ನಿವೇಶಗಳನ್ನು ಕೊಟ್ಟಿದೆ, ದೋಣಿಯು ಭಾಗಶಃ ಪ್ರವಾಹಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ಮತ್ತು ಭಾಗಶಃ ಪ್ರವಾಹದ ಜೊತೆಗೆ ಸಾಗುತ್ತದೆ.ದೋಣಿಯು ಚಲಿಸಿದದೂರ ಮತ್ತು ತೆಗೆದುಕೊಂಡ ಕಾಲವನ್ನೂ ಕೊಡಲಾಗಿದೆ.

ನಮಗೆ ತಿಳಿಯದೆ ಇರುವುದು ಜವ

ನೀರಿನ ಹರಿವಿನದ್ದು

ಮತ್ತು ದೋಣಿಯ ಜವ

ನಿಶ್ಚಲ ನೀರಿನಲ್ಲಿ

. ನಮಗೆ ಗೊತ್ತಿಲ್ಲದ ಚರಾಕ್ಷರಗಳಿವು.

ಎರಡು ಸನಿವೇಶಗಳನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಿಕೊಂಡು,ಗೊತ್ತಿಲ್ಲದ ಎರಡು ಚರಾಕ್ಷರಗಳನ್ನೊಳಗೊಂಡ ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು.

ಸಮೀಕರಣಗಳು ಗೊತ್ತಿದ್ದರೆ,ನಾವು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು

ಸಮೀಕರಣಗಳು ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿರದಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಮೊದಲು ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಬದಲಾಯಿಸಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು

ಚರಾಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವುದು:

ಪ್ರವಾಹದ ಜವವು

w \frac{km}{hr}

ಆಗಿರಲಿ.

ದೋಣಿಯ ಜವವು

ನಿಂತ ನೀರಿನಲ್ಲಿ

b \frac{km}{hr}

ಆಗಿರಲಿ.

ದೋಣಿಯು ಅಪ್ ಸ್ಟ್ರೀಮ್ ಚಲಿಸುತ್ತಿದೆ, ಎಂದರೆ ಪ್ರವಾಹಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ದವಾಗಿ.

{ಜವ}_{up} = (b - w) \frac{km}{hr}

ದೋಣಿಯು ಡೌನ್ ಸ್ಟ್ರೀಮ್ ಚಲಿಸುತ್ತಿದೆ, ಎಂದರೆ ಪ್ರವಾಹದಜೊತೆಯಾಗಿ.

{ಜವ}_{down} = (b + w) \frac{km}{hr}

ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣ ರಚನೆ:

ಈಗ ಮೊದಲ ಸನ್ನಿವೇಶ ನೋಡೋಣ

ದೋಣಿಯು

30 ಕಿ.ಮೀ

ಪ್ರವಾಹಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ದವಾಗಿ ಮತ್ತು

44 ಕಿ.ಮೀ

ಪ್ರವಾಹದ ಜೊತೆಯಾಗಿ

10

ಗಂಟೆಗಳಲ್ಲಿ ಚಲಿಸಿದೆ.

ನಾವು ಜವ,ದೂರ ಮತ್ತು ಕಾಲಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಬಹುದು.

ಕಾಲ = \frac{ದೂರ}{ಜವ}

ದೋಣಿಯು ಪ್ರವಾಹಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ದವಾಗಿ ಚಲಿಸಿದಾಗ,

\begin{aligned} {ಕಾಲ}_{up} & = \frac{{ದೂರ}_{up}}{{ಜವ}_{up}} \\ {ಕಾಲ}_{up} & = \frac{30}{b - w} ಗಂಟೆಗಳು \end{aligned}

ದೋಣಿಯು ಪ್ರವಾಹದ ಜೊತೆಗೆ ಚಲಿಸಿದಾಗ,

\begin{aligned} {ಕಾಲ}_{down} & = \frac{{ದೂರ}_{down}}{{ಜವ}_{down}} \\ {ಕಾಲ}_{down} & = \frac{44}{b + w} ಗಂಟೆಗಳು \end{aligned}

ಆದರೆ ದೋಣಿಯು

10

ಗಂಟೆಗಳ ಕಾಲ ತೆಗೆದುಕೊಂಡಿದೆ.

\begin{aligned} {ಕಾಲ}_{up} + {ಕಾಲ}_{down} & = 10 \\ \frac{30}{b - w} + \frac{44}{b + w} & = 10 \end{aligned}

ಎರಡನೇ ಸನ್ನಿವೇಶದ ಮೂಲಕ ಇನ್ನೊಂದು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ.

ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣ ರಚನೆ:

ಈಗ ಎರಡನೇ ಸನ್ನಿವೇಶ ನೋಡೋಣ

ದೋಣಿಯು

40 ಕಿ.ಮೀ

ಪ್ರವಾಹಕ್ಕೆ ಎದುರಾಗಿ ಮತ್ತು

55 ಕಿ.ಮೀ

ಪ್ರವಾಹದ ಜೊತೆಯಾಗಿ

13

ಗಂಟೆಗಳಲ್ಲಿ ಚಲಿಸಿದೆ.

ದೋಣಿಯು ಪ್ರವಾಹಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ದವಾಗಿ ಚಲಿಸಿದಾಗ,

\begin{aligned} {ಕಾಲ}_{up} & = \frac{{ದೂರ}_{up}}{{ಜವ}_{up}} \\ {ಕಾಲ}_{up} & = \frac{40}{b - w} ಗಂಟೆಗಳು \end{aligned}

ದೋಣಿಯು ಪ್ರವಾಹದ ಜೊತೆಗೆ ಚಲಿಸಿದಾಗ,

\begin{aligned} {ಕಾಲ}_{down} & = \frac{{ದೂರ}_{down}}{{ಜವ}_{down}} \\ {ಕಾಲ}_{down} & = \frac{55}{b + w} ಗಂಟೆಗಳು \end{aligned}

ಆದರೆ ದೋಣಿಯು

13

ಗಂಟೆಗಳ ಕಾಲ ತೆಗೆದುಕೊಂಡಿದೆ.

\begin{aligned} {ಕಾಲ}_{up} + {ಕಾಲ}_{down} & = 13 \\ \frac{40}{b - w} + \frac{55}{b + w} & = 13 \end{aligned}

ಈಗ ನಮಗೆ ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳಿವೆ,ಬಿಡಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ.

ರೇಖಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣ ರೂಪಕ್ಕೆ ಬದಲಾಯಿಸುವುದು:

ನಮ್ಮ ಸಮೀಕರಣಗಳು ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿಲ್ಲ.ಚರಾಕ್ಷರಗಳು ಛೇಧದಲ್ಲಿವೆ.

ಆದರೆ ನಮ್ಮ ಪದಗಳು

\frac{1}{b - w}

ಮತ್ತು

\frac{1}{b + w}

ಎರಡು ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಪುನರಾವರ್ತಿಸಿವೆ.

\begin{aligned} \frac{30}{b - w} + \frac{44}{b + w} & = 10 \\ \frac{40}{b - w} + \frac{55}{b + w} & = 13 \end{aligned}

ನಾವು

\frac{1}{b - w}

ನ್ನು

x

ನಿಂದ ಮತ್ತು

\frac{1}{b + w}

ವನ್ನು

y

ನಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಿದಾಗ,ಛೇದದಲ್ಲಿನ ಚರಾಕ್ಷರಗಳಿಂದ ಮುಕ್ತರಾಗಬಹುದು.

\begin{aligned} 30 x + 44 y & = 10 \\ 40 x + 55 y & = 13 \end{aligned}

ಈಗ ನಾವು ಮಾತನಾಡುತ್ತಿರುವುದು!ಎರಡು ಚರಾಕ್ಷರವುಳ್ಳ ರೇಖಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಬಗ್ಗೆ

ನಾವು ಇಲ್ಲಿಂದ ಮುಂದುವರಿಸಲು ಆದೇಶ ವಿಧಾನ ಅಥವಾ ವರ್ಜಿಸುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಬಹುದು.

ಹೊಸ ಚರಾಕ್ಷರಗಳಿಗೆ ರೇಖಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣ ಬಿಡಿಸುವುದು:

\begin{aligned} 30 x + 44 y & = 10 \\ 40 x + 55 y & = 13 \end{aligned}

x

ನ್ನು ವರ್ಜಿಸಬಹುದು, ಮೊದಲನೇ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು

4

ರಿಂದ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು

3

ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ, ಮತ್ತು ನಂತರ ಒಂದನ್ನು ಇನ್ನೊಂದರಿಂದ ಕಳೆದಾಗ.

\begin{aligned} 4 \times (30 x + 44 y & = 10) \\ 3 \times (40 x + 55 y & = 13) \end{aligned}

ಇದು ನೀಡುತ್ತದೆ,

\begin{aligned} 120 x + 176 y & = 40 \\ 120 x + 165 y & = 39 \end{aligned}

ಮೊದಲನೇ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕಳೆದಾಗ

\begin{aligned} 120 x + 176 y & = 40 \\ - (120 x + 165 y & = 39) \\ 11 y & = 1 \\ y & = \frac{1}{11} \end{aligned}

ಈ

y

ಬೆಲೆಯನ್ನು ಮೊದಲನೇ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಹಾಕಿದಾಗ:

\begin{aligned} 30 x + 44 \times \frac{1}{11} & = 10 \\ 30 x + 4 & = 10 \\ 30 x & = 6 \\ x & = \frac{6}{30} \\ x & = \frac{1}{5} \end{aligned}

ಈಗ ನಮಗೆ

x

and

y

ಬೆಲೆ ದೊರೆಯಿತು, ಇದರಿಂದ

b

and

w

ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು.

ಆರಂಭಿಕ ಚರಾಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು:

x

ಮತ್ತು

y

ನ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಹಾಕಿದಾಗ:

\begin{aligned} \frac{1}{b - w} & = x = \frac{1}{5} \\ \frac{1}{b + w} & = y = \frac{1}{11} \end{aligned}

ಇದರರ್ಥ:

\begin{aligned} b - w & = 5 \\ b + w & = 11 \end{aligned}

ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಕೂಡಿದಾಗ:

\begin{aligned} 2 \times b & = 5 + 11 \\ 2 \times b & = 16 \\ b & = 8 \end{aligned}

b

ನ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಹಾಕಿದಾಗ:

\begin{aligned} b - w & = 5 \\ 8 - w & = 5 \\ w & = 3 \end{aligned}

ಆದ್ದರಿಂದ,

b

ನಿಶ್ಚಲ ನೀರಿನಲ್ಲಿ ದೋಣಿಯ

ಜವವು

8 \frac{ಕಿ.ಮೀ}{ಗಂಟೆ}

ಮತ್ತು

w

ಪ್ರವಾಹದ

ಜವ

3 \frac{ಕಿ.ಮೀ}{ಗಂಟೆ}

ಸಾರಾಂಶ:

ರೇಖಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣ ರೂಪಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದಾದ ಸಮೀಕರಣ ಜೋಡಿಗಳನ್ನು ಬಿಡಿಸುವುದು

ಎರಡು ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಪುನರಾರ್ವತಿಸುವ ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ . ಸರಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಅವುಗಳನ್ನು $x$ ‍ ಮತ್ತು $y$ ‍ ಎಂದು ಹೆಸರಿಸಿ.
ಹೊಸದಾದ ಎರಡು ಚರಾಕ್ಷರಗಳ ರೇಖಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಆದೇಶಿಸಿ ಹೊಸ ಚರಾಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ..
ಹೊಸ ಚರಾಕ್ಷರಗಳ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಆರಂಭಿಕ ಚರಾಕ್ಷರಗಳಿಗೆ ಹಾಕಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
ಸಂಭ್ರಮಿಸಿ.

ಸಂಭಾಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಸೇರಲು ಬಯಸುವಿರಾ?

ಲಾಗಿನ್

ವಿಂಗಡಿಸು:

ಇನ್ನೂ ಪೋಸ್ಟ್‌ಗಳಿಲ್ಲ.

ನಿಮಗೆ ಇಂಗ್ಲಿಷ್ ಅರ್ಥವಾಗುತ್ತದೆಯೇ? ಖಾನ್ ಅಕಾಡೆಮಿ ಇಂಗ್ಲಿಷ್ ಸೈಟ್ನಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ಚರ್ಚೆ ನಡೆಯುವುದನ್ನು ನೋಡಲು ಇಲ್ಲಿ ಕ್ಲಿಕ್ ಮಾಡಿ.