ಗುಣಾಕಾರದ ಸಹವರ್ತನೀಯ ನಿಯಮಕ್ಕೆ ಪೀಠಿಕೆ.

ಈ ಚಿತ್ರವು ಪ್ರತಿ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ $3$‍ ಅಡ್ಡಸಾಲುಗಳಲ್ಲಿ $2$‍ ಚುಕ್ಕಿಗಳನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ನಾವು $3\times 2$‍ ಬೀಜೋಕ್ತಿಯನ್ನು ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದು.

ಈ ಚಿತ್ರವು $3\times 2$‍ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು $4$‍ ಬಾರಿ ನಕಲಿಸಲಾಗಿದೆ .

ನಾವು ಬೀಜೋಕ್ತಿ $(3\times 2)\times 4$‍ ಅನ್ನು ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ.

ನಾವು ಚುಕ್ಕಿಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿದರೆ ನಮಗೆ $24$‍ ಚುಕ್ಕಿಗಳು ಸಿಗುತ್ತವೆ.

ನಾವು ಆವರಣವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಿದರೆ ಅದೇ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಗುಂಪುಮಾಡಲಾಗಿದೆ?

ನಾವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪುನಃ $2$‍ ಮತ್ತು $4$‍ ಜೊತೆಯಲ್ಲೇ ಬರುವ ರೀತಿ ಗುಂಪುಮಾಡೋಣ : $3\times (2\times 4)$‍.

ಈ ಬೀಜೋಕ್ತಿಯನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ನಾವು ರಚಿಸಬಹುದು. ಈಗ ನಾವು $2$‍ ಅಡ್ಡಸಾಲುಗಳಲ್ಲಿ $4$‍ ಚುಕ್ಕಿಗಳು ಪ್ರತಿ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಇರುವಂತೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ. ಈ ಶ್ರೇಣಿಯು $2\times 4$‍ ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.

ನಾವು ಈ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು $3$‍ ಬಾರಿ ನಕಲು ಮಾಡಿ $3\times (2\times 4)$‍ ಬೀಜೋಕ್ತಿಯನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು.

ನಾವು ಚುಕ್ಕಿಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿದಾಗ, ಈಗಲೂ ಸಹ $24$‍ ನ್ನು ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಮರು ಗುಂಪು ಮಾಡಿದರು ಉತ್ತರ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ!

ಉತ್ತರವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸದೆ ಗುಣಾಕಾರದ ಲೆಕ್ಕಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪುನಃ ಗುಂಪು ಮಾಡಲು ನಮಗೆ ಅವಕಾಶ ಮಾಡಿಕೊಡುವ ಗಣಿತದ ನಿಯಮವನ್ನು ಸಹವರ್ತನೀಯ ನಿಯಮ.

ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಾಕಾರ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಗುಂಪು ಮಾಡೋಣ ಮತ್ತು ನಾವು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಗುಣಲಬ್ದವನ್ನು ಎರಡೂ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಎಂದು ತೋರಿಸೋಣ.

ನಾವು ಮೊದಲು $5$‍ ಮತ್ತು $4$‍ ಅನ್ನು ಜೊತೆಯಲ್ಲಿ ಗುಂಪುಮಾಡೋಣ. ನಾವು ಹಂತ ಹಂತವಾಗಿ ಬೀಜೋಕ್ತಿಯನ್ನು ಬಿಡಿಸೋಣ.

ಈಗ ನಾವು $4$‍ ಮತ್ತು $2$‍ ಅನ್ನು ಜೊತೆಯಲ್ಲಿ ಗುಂಪು ಮಾಡೋಣ.

ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಎರಡು ಬೇರೆ ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಗುಂಪುಮಾಡಿದ್ದರೂ ನಾವು ಪ್ರತಿ ಬಾರಿ ಅದೇ ಗುಣಲಬ್ದವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ.

ಎಲ್ಲಾ ಮೂರು ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳು ಸಮ:
$\phantom{=}5\times 4\times 2$‍
$=(5\times 4)\times 2$‍
$=5\times (4\times 2)$‍

ಈಗ ನಾವು ಬೀಜೋಕ್ತಿಯನ್ನು ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಬಿಡಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ.

ಈಗ ವಿಭಿನ್ನ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಗುಂಪು ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟ ಅದೇ ಬೀಜೋಕ್ತಿಯನ್ನು ಬಿಡಿಸೋಣ.

$(3\times 2)\times 5=30$‍ ಮತ್ತು
$3\times (2\times 5)=30$‍

ನಾವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಎರಡು ಬೇರೆ ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಗುಂಪುಮಾಡಿದ್ದರೂ ಸಹ ನಾವು ಅದೇ ಗುಣಲಬ್ದವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ.

ಸಮನಾದ ಬಿಜೋಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಾವು ಸಹವರ್ತನೀಯ ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು.

$2\times 2\times 5$‍ ಬಿಜೋಕ್ತಿಯಿಂದ ನಾವು ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ.

ನಾವು ಈ ಬೀಜೋಕ್ತಿಯನ್ನು ಎರಡು ವಿದಗಳಲ್ಲಿ $2\times 2\times 5$‍ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗುವ ರೀತಿ ಗುಂಪು ಮಾಡೋಣ :

ಪ್ರತಿ ಬೀಜೋಕ್ತಿಯನ್ನು ಹಂತ ಹಂತವಾಗಿ ಬಿಡಿಸುತ್ತಾ ನಾವು ಸಮಾನವಾದ ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ.

ಆದುದರಿಂದ ನಮಗೆ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಬೀಜೋಕ್ತಿ, $2\times 2\times 5$‍ಯು ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳಾದ $4\times 5$‍ ಮತ್ತು $2\times 10$‍ ಗಳಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಪುನಃ ಗುಂಪು ಮಾಡುವುದು ಗುಣಾಕಾರ ಲೆಕ್ಕಗಳನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಬಿಡಿಸಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ.

ಬೀಜೋಕ್ತಿ $4\times 4\times 5$‍ಯನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ನಾವು ಬೀಜೋಕ್ತಿಯನ್ನು ಎರಡು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಗುಂಪು ಮಾಡಬಹುದು:

ನಾವು ಮೊದಲ ಬೀಜೋಕ್ತಿಯನ್ನು ಹಂತ ಹಂತವಾಗಿ ಬಿಡಿಸಿದಾಗ ನಮಗೆ ಇದು ಸಿಗುತ್ತದೆ: $(4\times 4)\times 5=16\times 5$‍

ನಾವು ಎರಡನೇ ಬೀಜೋಕ್ತಿಯನ್ನು ಹಂತ ಹಂತವಾಗಿ ಬಿಡಿಸಿದಾಗ ನಮಗೆ ಇದು ಸಿಗುತ್ತದೆ: $4\times (4\times 5)=4\times 20$‍

$16\times 5$‍ ಕ್ಕಿಂತ ಸುಲಭವಾಗಿ ನಾವು $4\times 20$‍ ಗುಣಲಬ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು.

ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ ಗುಂಪುಮಾಡಿದ್ದರೂ ಸಹ, ಎರಡೂ ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳು ಒಂದೇ ಗುಣಲಬ್ದವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ.