ಗುಣಾಕಾರದ ಸಹವರ್ತನೀಯ ನಿಯಮಕ್ಕೆ ಪೀಠಿಕೆ.

ಈ ಚಿತ್ರವು ಪ್ರತಿ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ $\goldD{3}$start color #e07d10, 3, end color #e07d10 ಅಡ್ಡಸಾಲುಗಳಲ್ಲಿ $\tealD{2}$start color #01a995, 2, end color #01a995 ಚುಕ್ಕಿಗಳನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ನಾವು $\tealD{3} \times \goldD{2}$start color #01a995, 3, end color #01a995, times, start color #e07d10, 2, end color #e07d10 ಬೀಜೋಕ್ತಿಯನ್ನು ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದು.

ಈ ಚಿತ್ರವು $\tealD{3} \times \goldD{2}$start color #01a995, 3, end color #01a995, times, start color #e07d10, 2, end color #e07d10 ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು $\purpleD{4}$start color #7854ab, 4, end color #7854ab ಬಾರಿ ನಕಲಿಸಲಾಗಿದೆ .

ನಾವು ಬೀಜೋಕ್ತಿ $(\tealD{3} \times \goldD{2}) \times \purpleD{4}$left parenthesis, start color #01a995, 3, end color #01a995, times, start color #e07d10, 2, end color #e07d10, right parenthesis, times, start color #7854ab, 4, end color #7854ab ಅನ್ನು ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ.

ನಾವು ಚುಕ್ಕಿಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿದರೆ ನಮಗೆ $24$24 ಚುಕ್ಕಿಗಳು ಸಿಗುತ್ತವೆ.

ನಾವು ಆವರಣವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಿದರೆ ಅದೇ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಗುಂಪುಮಾಡಲಾಗಿದೆ?

ನಾವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪುನಃ $\goldD{2}$start color #e07d10, 2, end color #e07d10 ಮತ್ತು $\purpleD{4}$start color #7854ab, 4, end color #7854ab ಜೊತೆಯಲ್ಲೇ ಬರುವ ರೀತಿ ಗುಂಪುಮಾಡೋಣ : $\tealD{3} \times (\goldD{2}\times \purpleD{4})$start color #01a995, 3, end color #01a995, times, left parenthesis, start color #e07d10, 2, end color #e07d10, times, start color #7854ab, 4, end color #7854ab, right parenthesis.

ಈ ಬೀಜೋಕ್ತಿಯನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ನಾವು ರಚಿಸಬಹುದು. ಈಗ ನಾವು $\goldD{2}$start color #e07d10, 2, end color #e07d10 ಅಡ್ಡಸಾಲುಗಳಲ್ಲಿ $\purpleD{4}$start color #7854ab, 4, end color #7854ab ಚುಕ್ಕಿಗಳು ಪ್ರತಿ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಇರುವಂತೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ. ಈ ಶ್ರೇಣಿಯು $\goldD{2} \times\purpleD{4}$start color #e07d10, 2, end color #e07d10, times, start color #7854ab, 4, end color #7854ab ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.

ನಾವು ಈ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು $\tealD{3}$start color #01a995, 3, end color #01a995 ಬಾರಿ ನಕಲು ಮಾಡಿ $\tealD{3} \times (\goldD{2} \times \purpleD{4})$start color #01a995, 3, end color #01a995, times, left parenthesis, start color #e07d10, 2, end color #e07d10, times, start color #7854ab, 4, end color #7854ab, right parenthesis ಬೀಜೋಕ್ತಿಯನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು.

ನಾವು ಚುಕ್ಕಿಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿದಾಗ, ಈಗಲೂ ಸಹ $24$24 ನ್ನು ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಮರು ಗುಂಪು ಮಾಡಿದರು ಉತ್ತರ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ!

ಉತ್ತರವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸದೆ ಗುಣಾಕಾರದ ಲೆಕ್ಕಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪುನಃ ಗುಂಪು ಮಾಡಲು ನಮಗೆ ಅವಕಾಶ ಮಾಡಿಕೊಡುವ ಗಣಿತದ ನಿಯಮವನ್ನು ಸಹವರ್ತನೀಯ ನಿಯಮ.

ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಾಕಾರ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಗುಂಪು ಮಾಡೋಣ ಮತ್ತು ನಾವು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಗುಣಲಬ್ದವನ್ನು ಎರಡೂ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಎಂದು ತೋರಿಸೋಣ.

ನಾವು ಮೊದಲು $\blueD{5}$start color #11accd, 5, end color #11accd ಮತ್ತು $\blueD{4}$start color #11accd, 4, end color #11accd ಅನ್ನು ಜೊತೆಯಲ್ಲಿ ಗುಂಪುಮಾಡೋಣ. ನಾವು ಹಂತ ಹಂತವಾಗಿ ಬೀಜೋಕ್ತಿಯನ್ನು ಬಿಡಿಸೋಣ.

ಈಗ ನಾವು $\purpleD{4}$start color #7854ab, 4, end color #7854ab ಮತ್ತು $\purpleD{2}$start color #7854ab, 2, end color #7854ab ಅನ್ನು ಜೊತೆಯಲ್ಲಿ ಗುಂಪು ಮಾಡೋಣ.

ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಎರಡು ಬೇರೆ ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಗುಂಪುಮಾಡಿದ್ದರೂ ನಾವು ಪ್ರತಿ ಬಾರಿ ಅದೇ ಗುಣಲಬ್ದವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ.

ಎಲ್ಲಾ ಮೂರು ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳು ಸಮ:
$\phantom{=}5 \times 4 \times 2$empty space, 5, times, 4, times, 2
$=(\blueD{5 \times 4}) \times 2$equals, left parenthesis, start color #11accd, 5, times, 4, end color #11accd, right parenthesis, times, 2
$=5 \times (\purpleD{4 \times 2})$equals, 5, times, left parenthesis, start color #7854ab, 4, times, 2, end color #7854ab, right parenthesis

ಈಗ ನಾವು ಬೀಜೋಕ್ತಿಯನ್ನು ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಬಿಡಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ.

ಈಗ ವಿಭಿನ್ನ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಗುಂಪು ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟ ಅದೇ ಬೀಜೋಕ್ತಿಯನ್ನು ಬಿಡಿಸೋಣ.

$(\purpleD{3 \times 2}) \times 5 = 30$left parenthesis, start color #7854ab, 3, times, 2, end color #7854ab, right parenthesis, times, 5, equals, 30 ಮತ್ತು
$3 \times (\greenD{2 \times 5}) = 30$3, times, left parenthesis, start color #1fab54, 2, times, 5, end color #1fab54, right parenthesis, equals, 30

ನಾವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಎರಡು ಬೇರೆ ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಗುಂಪುಮಾಡಿದ್ದರೂ ಸಹ ನಾವು ಅದೇ ಗುಣಲಬ್ದವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ.

ಸಮನಾದ ಬಿಜೋಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಾವು ಸಹವರ್ತನೀಯ ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು.

$2 \times 2 \times 5$2, times, 2, times, 5 ಬಿಜೋಕ್ತಿಯಿಂದ ನಾವು ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ.

ನಾವು ಈ ಬೀಜೋಕ್ತಿಯನ್ನು ಎರಡು ವಿದಗಳಲ್ಲಿ $2\times 2 \times 5$2, times, 2, times, 5ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗುವ ರೀತಿ ಗುಂಪು ಮಾಡೋಣ :

ಪ್ರತಿ ಬೀಜೋಕ್ತಿಯನ್ನು ಹಂತ ಹಂತವಾಗಿ ಬಿಡಿಸುತ್ತಾ ನಾವು ಸಮಾನವಾದ ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ.

ಆದುದರಿಂದ ನಮಗೆ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಬೀಜೋಕ್ತಿ, $2 \times 2 \times 5$2, times, 2, times, 5ಯು ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳಾದ $4 \times 5$4, times, 5 ಮತ್ತು $2 \times 10$2, times, 10 ಗಳಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಪುನಃ ಗುಂಪು ಮಾಡುವುದು ಗುಣಾಕಾರ ಲೆಕ್ಕಗಳನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಬಿಡಿಸಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ.

ಬೀಜೋಕ್ತಿ $4 \times 4 \times 5$4, times, 4, times, 5ಯನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ನಾವು ಬೀಜೋಕ್ತಿಯನ್ನು ಎರಡು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಗುಂಪು ಮಾಡಬಹುದು:

ನಾವು ಮೊದಲ ಬೀಜೋಕ್ತಿಯನ್ನು ಹಂತ ಹಂತವಾಗಿ ಬಿಡಿಸಿದಾಗ ನಮಗೆ ಇದು ಸಿಗುತ್ತದೆ: $(\blueD{4\times 4}) \times 5 = \blueD{16} \times 5$left parenthesis, start color #11accd, 4, times, 4, end color #11accd, right parenthesis, times, 5, equals, start color #11accd, 16, end color #11accd, times, 5

ನಾವು ಎರಡನೇ ಬೀಜೋಕ್ತಿಯನ್ನು ಹಂತ ಹಂತವಾಗಿ ಬಿಡಿಸಿದಾಗ ನಮಗೆ ಇದು ಸಿಗುತ್ತದೆ: $4 \times (\purpleD{4 \times 5}) = 4 \times \purpleD{20}$4, times, left parenthesis, start color #7854ab, 4, times, 5, end color #7854ab, right parenthesis, equals, 4, times, start color #7854ab, 20, end color #7854ab

$16 \times 5$16, times, 5 ಕ್ಕಿಂತ ಸುಲಭವಾಗಿ ನಾವು $4 \times 20$4, times, 20 ಗುಣಲಬ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು.

ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ ಗುಂಪುಮಾಡಿದ್ದರೂ ಸಹ, ಎರಡೂ ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳು ಒಂದೇ ಗುಣಲಬ್ದವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ.