ಅಪವರ್ತನಗಳು ಮತ್ತು ಅಪವರ್ತ್ಯಗಳು

ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಭಾಗಮಾಡಬಲ್ಲ ಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯೇ ಅಪವರ್ತನಗಳು.

ಅಪವರ್ತನಗಳು ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸಣ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುವ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ನಮಗೆ ನೀಡುತ್ತವೆ. $12$12ರ ಅಪವರ್ತನಗಳನ್ನು ಚಿತ್ರದ ಮೂಲಕ ತೋರಿಸಲು ಚುಕ್ಕೆಗಳನ್ನು ಸಮ ಪ್ರಮಾಣದ ಗುಂಪುಗಳನ್ನಾಗಿ ಜೋಡಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ.

$12$12 ಚುಕ್ಕಿಗಳನ್ನು, $\tealC{1}$start color #01d1c1, 1, end color #01d1c1 ಅಡ್ಡಸಾಲಿನಲ್ಲಿಯೇ $\tealC{12}$start color #01d1c1, 12, end color #01d1c1 ಚುಕ್ಕಿಗಳು ಬರುವಂತೆ ಜೋಡಿಸಬಹುದು.
$\tealC{1 \times 12} = 12$start color #01d1c1, 1, times, 12, end color #01d1c1, equals, 12

$12$12 ಚುಕ್ಕಿಗಳನ್ನು $\purpleC{2}$start color #aa87ff, 2, end color #aa87ff ಅಡ್ಡಸಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ಎಂದರೆ ಪ್ರತಿ ಅಡ್ಡಸಾಲಿನಲ್ಲಿ $\purpleC{6}$start color #aa87ff, 6, end color #aa87ff ಚುಕ್ಕಿಗಳಿರುವಂತೆ ಜೋಡಿಸಬಹುದು.
$\purpleC{2 \times 6} = 12$start color #aa87ff, 2, times, 6, end color #aa87ff, equals, 12

ಅಥವಾ, ನಾವು $12$12 ಚುಕ್ಕಿಗಳನ್ನು ಪ್ರತೀ $\redC{3}$start color #f9685d, 3, end color #f9685d ಅಡ್ಡಸಾಲುಗಳಲ್ಲಿ $\redC{4}$start color #f9685d, 4, end color #f9685d ಚುಕ್ಕಿಗಳಿರುವಂತೆ ಜೋಡಿಸಬಹುದು.
$\redC{3 \times 4} = 12$start color #f9685d, 3, times, 4, end color #f9685d, equals, 12

ನಾವು ಎಲ್ಲಾ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಎಂದರೆ ಪ್ರತೀ ಅಡ್ಡಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಸಮ ಚುಕ್ಕಿಗಳಿರುವಂತೆ $12$12 ಚುಕ್ಕಿಗಳನ್ನು ಜೋಡಿಸಿದಾಗ, ಪ್ರತೀ ಅಡ್ಡಸಾಲುಗಳು ಹಾಗು ಅಡ್ಡಸಾಲುಗಳಲ್ಲಿನ ಚುಕ್ಕಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಗಮನಿಸಿದಾಗ $12$12 ರ ಅಪವರ್ತನಗಳನ್ನು ಅರ್ಥೈಸಬಹುದಾಗಿದೆ.

$\tealC{1}$start color #01d1c1, 1, end color #01d1c1, $\tealC{12}$start color #01d1c1, 12, end color #01d1c1, $\purpleC{2}$start color #aa87ff, 2, end color #aa87ff, $\purpleC{6}$start color #aa87ff, 6, end color #aa87ff, $\redC{3}$start color #f9685d, 3, end color #f9685d, ಮತ್ತು $\redC{4}$start color #f9685d, 4, end color #f9685d ಇವೆಲ್ಲವೂ ಸಹ $12$12 ರ ಅಪವರ್ತನಗಳಾಗಿವೆ

ನಾವು $12$12 ಚುಕ್ಕಿಗಳನ್ನು ಒಂದು ಅಡ್ಡಸಾಲಿನಲ್ಲಿ $\greenD5$start color #1fab54, 5, end color #1fab54 ಚುಕ್ಕಿಗಳು ಮತ್ತು ಮತ್ತೊಂದು ಅಡ್ಡಸಾಲಿನಲ್ಲಿ $\goldD7$start color #e07d10, 7, end color #e07d10 ಚುಕ್ಕಿಗಳನ್ನು ಜೋಡಿಸಿದರೆ $\greenD5$start color #1fab54, 5, end color #1fab54 ಮತ್ತು $\goldD7$start color #e07d10, 7, end color #e07d10, ಇವು $12$12 ರ ಅಪವರ್ತನಗಳೇ?

ಇಲ್ಲ. $\greenD5$start color #1fab54, 5, end color #1fab54 ಮತ್ತು $\goldD7$start color #e07d10, 7, end color #e07d10 , ಇವುಗಳು 12 ರ ಅಪವರ್ತನಗಳಲ್ಲ ಏಕೆಂದರೆ 12 ಚುಕ್ಕಿಗಳನ್ನು ಪ್ರತೀ ಅಡ್ಡಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಸಮ ಚುಕ್ಕಿಗಳಿರುಂತೆ ಗುಂಪು ಮಾಡಲಾಗಿಲ್ಲ.

ಚುಕ್ಕಿ ಚಿತ್ರದ ಸಹಾಯವಿಲ್ಲದೇ, ಆಲೋಚಿಸುವ ಮೂಲಕ $16$16 ರ ಅಪವರ್ತನಗಳನ್ನು $16$16 ನ್ನು ಸಮವಾಗಿ ವಿಭಾಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ.

$\blueD{1}$start color #11accd, 1, end color #11accd ಇದು $16$16 ರ ಅಪವರ್ತನವಾಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ $\blueD{1}$start color #11accd, 1, end color #11accd ,$16$16 ನಿಶ್ಯೇಷವಾಗಿ ಭಾಗಿಸುತ್ತದೆ.
$16 \div \blueD{1}= \blueD{16}$16, divided by, start color #11accd, 1, end color #11accd, equals, start color #11accd, 16, end color #11accd
ಭಾಗಲಬ್ಧ $\blueD{16},$start color #11accd, 16, end color #11accd, comma ಇದು $16$16. ರ ಅಪವರ್ತನವಾಗಿದೆ.

$\greenD{2}$start color #1fab54, 2, end color #1fab54 ಇದು $16$16 ರ ಅಪವರ್ತನವಾಗಿದೆ. ಏಕೆಂದರೆ $\greenD{2}$start color #1fab54, 2, end color #1fab54 , $16$16 ನ್ನು ನಿಶ್ಯೇಷವಾಗಿ ಭಾಗಿಸುತ್ತದೆ.
$16 \div \greenD{2}= \greenD{8}$16, divided by, start color #1fab54, 2, end color #1fab54, equals, start color #1fab54, 8, end color #1fab54
ಭಾಗಲಬ್ಧ $\greenD{8}$start color #1fab54, 8, end color #1fab54,ಇದು $16$16 ರ ಅಪವರ್ತನವಾಗಿದೆ.

$\purpleD{4}$start color #7854ab, 4, end color #7854ab ಇದು $16$16 ರ ಅಪವರ್ತನವಾಗಿದೆ. ಏಕೆಂದರೆ $\purpleD{4}$start color #7854ab, 4, end color #7854ab , $16$16 ನ್ನು ನಿಶ್ಯೇಷವಾಗಿ ಭಾಗಿಸುತ್ತದೆ.
$16 \div \purpleD{4}= \purpleD{4}$16, divided by, start color #7854ab, 4, end color #7854ab, equals, start color #7854ab, 4, end color #7854ab
ಭಾಗಲಬ್ಧ $\purpleD{4}$start color #7854ab, 4, end color #7854ab,ಇದು $16$16 ರ ಅಪವರ್ತನವಾಗಿದೆ. ಇದು ಈಗಾಗಲೇ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗಿರುವ $16$16 ರ ಅಪವರ್ತನವಾಗಿದೆ

$16$16 ರ ಅಪರ್ತನಗಳು $\blueD{1, 16}$start color #11accd, 1, comma, 16, end color #11accd, $\greenD{2, 8},$start color #1fab54, 2, comma, 8, end color #1fab54, comma ಮತ್ತು $\purpleD{4}$start color #7854ab, 4, end color #7854ab ಆಗಿವೆ.

ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾದ $3$3 ಮತ್ತು $5$5 ಇವುಗಳು $16$16 ಅಪವರ್ತನಗಳಲ್ಲ ಏಕೆಂದರೆ ಇವು $16$16 ನ್ನು ನಿಶ್ಯೇಷವಾಗಿ ಭಾಗಿಸುವುದಿಲ್ಲ.

ಪ್ರತೀ ಸಂಖ್ಯೆಯು $1$1 ನ್ನು ತನ್ನ ಅಪವರ್ತನವಾಗಿ ಹೊಂದಿದೆ.

$10$10 ರ ಅಪವರ್ತನ $1$1.
$364$364 ರ ಅಪವರ್ತನ $1$1.
$5,787$5, comma, 787ರ ಅಪವರ್ತನ $1$1.

ಪ್ರತೀ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಒಂದು ಅಪವರ್ತನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

$41$41 ರ ಅಪವರ್ತನ $41$41.
$128$128 ರ ಅಪವರ್ತನ $128$128.
$4,379$4, comma, 379 ರ ಅಪವರ್ತನ $4,379$4, comma, 379.

ಒಂದು ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಯಾವ ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ಗುಣಿಸುತ್ತೇವೆಯೋ ಆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಅದರ ಅವರ್ತನಗಳು ಎನ್ನುವರು . ಗುಣಲಬ್ಧ $8$8 ನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ನಾವು $\purpleD{1}$start color #7854ab, 1, end color #7854ab $\times$times $\purpleD{ 8}$start color #7854ab, 8, end color #7854ab ಮತ್ತು $\greenD{2}$start color #1fab54, 2, end color #1fab54 $\times$times $\greenD{4}$start color #1fab54, 4, end color #1fab54 ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ಹಾಗಾಗಿ $8$8 ರ ಅಪರ್ತನಗಳು $\purpleD{1}$start color #7854ab, 1, end color #7854ab ಮತ್ತು $\purpleD{8}$start color #7854ab, 8, end color #7854ab ಮತ್ತು $\greenD{2}$start color #1fab54, 2, end color #1fab54 ಮತ್ತು $\greenD{4}$start color #1fab54, 4, end color #1fab54 ಆಗಿವೆ.

ಸಮಾನ ಗಾತ್ರದ ಗುಂಪುಗಳಲ್ಲಿ ಚುಕ್ಕಿಗಳನ್ನು ಜೋಡಿಸುವುದರಿಂದ ಅಪವರ್ತನಗಳು ಯಾವಾಗಲೂ ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಕಂಡುಬರುವುದನ್ನು ನೋಡಲು ನಮಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಜೋಡಿ ಅಪವರ್ತನಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅಪವರ್ತನವು ಅಡ್ಡಸಾಲುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಜೋಡಿ ಅಪವರ್ತನಗಳಲ್ಲಿರುವ ಮತ್ತೊಂದು ಅಪವರ್ತನವು ಪ್ರತಿ ಅಡ್ಡಸಾಲುಗಳಲ್ಲಿರುವ ಚುಕ್ಕಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

ನಾವು $20$20ರ ಜೋಡಿ ಅಪವರ್ತನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ನೆನಪಿಡಿ, ನಾವು ಎರಡು ಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತಿದ್ದೇವೆ, ಅವುಗಳ ಗುಣಲಬ್ದ $20$20 ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ನಾವು ಮೊದಲು $\blueD{1}$start color #11accd, 1, end color #11accd ರಿಂದ ಶುರು ಮಾಡೋಣ, ಏಕೆಂದರೆ ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ $\blueD{1}$start color #11accd, 1, end color #11accd ಪ್ರತಿ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಪವರ್ತನವಾಗಿದೆ. ನಾವು $\blueD{1} \times \blueD{20}$start color #11accd, 1, end color #11accd, times, start color #11accd, 20, end color #11accd ಗುಣಿಸಿ $20$20 ನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ $\blueD{20}$start color #11accd, 20, end color #11accd ಕೂಡ ಅಪವರ್ತನ. ಈ ಅಪವರ್ತನಗಳ ಪಟ್ಟಿಯಲ್ಲಿ ಇವುಗಳನ್ನು ನಾವು ಹೊರಗಿನ ತುದಿಗಳಾಗಿ ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಬಹುದು, ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿ ಬೇರೆ ಅಪವರ್ತನಗಳನ್ನು ಬರೆಯನಹುದು.

ನಾವು ಈಗ ಮುಂದಿನ ಎಣಿಕೆ ಸಂಖ್ಯೆಯಾದ $2$2 ಕೂಡ ಅಪವರ್ತನವೇ ಎಂದು ನೋಡೋಣ .

ಯಾವುದಾದರು ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ $\greenD{2}$start color #1fab54, 2, end color #1fab54 ನ್ನು ಗುಣಿಸಿ $20$20 ನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದೇ? ಹೌದು, $\greenD{2} \times \greenD{10}=20$start color #1fab54, 2, end color #1fab54, times, start color #1fab54, 10, end color #1fab54, equals, 20. ಆದ್ದರಿಂದ $\greenD{2}$start color #1fab54, 2, end color #1fab54 ಮತ್ತು $\greenD{10}$start color #1fab54, 10, end color #1fab54 ಗಳು ಮತ್ತೊಂದು ಅಪವರ್ತನ ಜೋಡಿ.

ಮುಂದಿನ ಎಣಿಕೆ ಸಂಖ್ಯೆ $3$3. ಯಾವುದಾದರು ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ $3$3 ನ್ನು ಗುಣಿಸಿ $20$20 ನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದೇ? ಇಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ $3$3 ಸಂಖ್ಯೆಯು $20$20ರ ಅಪವರ್ತನ ಅಲ್ಲ .

ಯಾವುದಾದರು ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ $\redD{4}$start color #e84d39, 4, end color #e84d39 ನ್ನು ಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಿ $20$20ನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದೇ ? ಹೌದು. $\redD{4} \times \redD{5}= 20$start color #e84d39, 4, end color #e84d39, times, start color #e84d39, 5, end color #e84d39, equals, 20. ಆದ್ದರಿಂದ $\redD{4}$start color #e84d39, 4, end color #e84d39 ಮತ್ತು $\redD{5}$start color #e84d39, 5, end color #e84d39 ಗಳು ಅಪವರ್ತನ ಜೋಡಿಗಳು.

ಮುಂದಿನ ಎಣಿಕೆ ಸಂಖ್ಯೆಯು $5$5. ಆಗಲೇ $5$5 ಪಟ್ಟಿಯಲ್ಲಿ ಇರುವುದರಿಂದ, ನಾವು $20$20ರ ಎಲ್ಲಾ ಜೋಡಿ ಅಪವರ್ತನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದಿದ್ದೇವೆ.

ನಾವು ಒಂದು ಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಮತ್ತೊಂದು ಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಸಿಗುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಗುಣಕಗಳು ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. $\blue{3}$start color #6495ed, 3, end color #6495ed ರ ಮೊದಲ ನಾಲ್ಕು ಗುಣಕಗಳು $3, 6, 9$3, comma, 6, comma, 9ಮತ್ತು $12$12 ಆಗಿವೆ ಏಕೆಂದರೆ:

$\blue{3}$start color #6495ed, 3, end color #6495ed ರ ಇನ್ನು ಕೆಲವು ಗುಣಕಗಳು $15, 30$15, comma, 30 ಮತ್ತು $300$300 ಆಗಿವೆ.

ನಾವು ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಹಲವಾರು ಗುಣಕಗಳನ್ನು ಎಂದಿಗೂ ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ನಮ್ಮ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, $3$3ರ ಹೊಸ ಗುಣಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಅಪರಿಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ಗುಣಿಸಬಹುದು.

ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೊದಲ ಗುಣಕವು ಸ್ವತಃ ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆ ಆಗಿದೆ.
$7 \times 1 = 7$7, times, 1, equals, 7.

ಈ ಪಟ್ಟಿಯು $4$4ರ ಗುಣಕಗಳನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.

ಈ ಪಟ್ಟಿಯು $8$8ರ ಗುಣಕಗಳನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.

ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರವು $4$4 ರ ಗುಣಕಗಳನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.

ಮುಂದಿನ ಪೆಟ್ಟಿಗೆ ಮುಂದಿನ $4$4 ರ ಗುಣಕವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ .

$\goldD{4}$start color #e07d10, 4, end color #e07d10 ಮತ್ತು $\greenD{7}$start color #1fab54, 7, end color #1fab54 ಎರಡೂ $\blueD{28}$start color #11accd, 28, end color #11accd ರ ಅಪವರ್ತನಗಳು ಏಕೆಂದರೆ ಎರಡೂ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು $\blueD{28}$start color #11accd, 28, end color #11accd ನ್ನು ನಿಶೇಷವಾಗಿ ಭಾಗಿಸುತ್ತವೆ.

$\blueD{28}$start color #11accd, 28, end color #11accd ಸಂಖ್ಯೆಯು $\goldD{4}$start color #e07d10, 4, end color #e07d10 ರ ಗುಣಕ ಮತ್ತು ಅದು $\greenD{7}$start color #1fab54, 7, end color #1fab54ರ ಗುಣಕ ಕೂಡ ಆಗಿದೆ .

ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ $9 \times 6 = 54$9, times, 6, equals, 54

ಆಯತಗಳ ಉದ್ದ ಮತ್ತು ಆಯತಗಳ ವಿಸ್ತೀಣಗಳ ಬಗೆಗಿನ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ಅಪವರ್ತನಗಳು ಮತ್ತು ಗುಣಕಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಒಂದು ಆಯತದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು $50$50 ಚದರ ಸೆಂ ಮೀ ಇದೆ.

ಶ್ರೀ ಮೋಹನನು ತನ್ನ ಕಲಾ ಕ್ಲಬ್ ನಲ್ಲಿ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ $36$36 ಚಾಕೊಲೇಟ್ ಚಿಪ್ ಬಿಸ್ಕಟ್ ಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತಿದ್ದಾರೆ.